無料で使えて手軽な流体シミュレーション・ソフトウェア
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ソルバーの詳細
以下の情報は、Flowsquare+の最新バージョンにおける情報です。式中の変数名の多くは、ユーザー指定パラメータ名と同様です。
基礎方程式
シミュレーションおいて解く必要のある場は、以下の密度場、速度場、温度場、流体中の物質の質量分率、圧力場です。ただし、cmode=0の流体解析モードの場合は、質量保存の式及び運動量保存の式のみ利用し、気体の状態方程式は必要ありません（従って、水などの液体の流れ場も考慮可能）。流体中の物質の質量分率に関する方程式は、いずれのcmodeでも考慮可能です。 \begin{equation} \rho(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: u_i(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: T(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: Y(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: p(\mathbf{x},t). \end{equation}
これらの基礎方程式として、空間フィルタを施した、質量保存方程式： \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \bar{\rho} \tilde{u_i} \right), \end{equation}
運動量の輸送方程式： \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i} \tilde{u_j}}{\partial x_j} = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \tilde{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \tilde{u_j}}{\partial x_i} \right) \right] - \underbrace{ \frac{\partial \bar{\rho} \tau_{ij}}{\partial x_j} }_{M_{I}} + \Delta \bar{\rho} g_{f, x_i}, \end{equation}
エネルギーの輸送方程式（温度の輸送方程式）： \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{T}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i} \tilde{T}}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \bar{\rho} \alpha \frac{\partial \tilde{T}}{\partial x_i} \right) - \underbrace{ \frac{\partial \bar{\rho} \phi_i^T}{\partial x_i} }_{M_{II}} + \underbrace{ \frac{1}{c_p}\frac{\partial p_0}{\partial t} }_{M_{III}} + \underbrace{ \frac{\bar{Q}}{c_p} }_{M_{IV}}, \end{equation}
流体中の物質濃度の輸送方程式 [2018R2以降]： \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{Y}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i} \tilde{Y}}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \bar{\rho} D \frac{\partial \tilde{Y}}{\partial x_i} \right) - \underbrace{ \frac{\partial \bar{\rho} \phi_i^Y}{\partial x_i} }_{M_{V}} + \underbrace{ \bar{\omega}_Y}_{M_{VI}}, \end{equation}
流体中のage変数の輸送方程式 [2021R1.0以降]： \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{a}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i} \tilde{a}}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \bar{\rho} D \frac{\partial \tilde{a}}{\partial x_i} \right) - \underbrace{ \frac{\partial \bar{\rho} \phi_i^a}{\partial x_i} }_{M_{V}} + 1, \end{equation}
理想気体の状態方程式： \begin{equation} p_0 = \rho R_u/W_{air} T, \end{equation}
を数値的に解くことでシミュレーションを実現しています。ただし、解法として低マッハ数近似を用いており、質量保存方程式の代わりに圧力に関するポアソン方程式を解いています。ここで、\(R_u\)は、気体定数、\(W_{air}\)は、空気の平均分子量で、\(R_u=8.31\) (J/K/mol)、\(W_{air}=28.97\times10^{-3}\) (kg/mol)です。また、上式中の一部の項や演算は以下の通りです。
SGS応力項： \begin{equation} \tau_{ij} = \widetilde{u_i u_j} - \tilde{u}_i \tilde{u}_j. \end{equation}
物理量\(\Omega\)のSGSスカラー流束項： \begin{equation} \phi_i^\Omega = \widetilde{u_i \Omega} - \tilde{u}_i \tilde{\Omega}. \end{equation}
空間フィルター： \begin{equation} \overline{q(\mathbf{x},t)} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} q(\mathbf{r},t')G(\mathbf{x-r},t-t')dt'd\mathbf{r}. \end{equation}
ファーブル空間フィルター： \begin{equation} \tilde{q} = \frac{\overline{\rho q}}{\bar{\rho}}. \end{equation}
その他の補助式 \begin{equation} p = p_0 + p' = {\rm presW} + p'. \end{equation} \begin{equation} \Delta \rho = \rho - \rho_0 = \rho - {\rm rhoW}. \end{equation} \begin{equation} \rho \alpha = \mu / Pr. \end{equation} \begin{equation} Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu/\rho}{\lambda/c_p/\rho} = \frac{c_p\mu}{\lambda}. \end{equation} \begin{equation} Sc = \frac{\nu}{D} = \frac{\mu/\rho}{D}. \end{equation}
基礎方程式中のモデルについて
上記、基礎方程式中の一部項には以下の乱流モデルを適用しています。
格子解像度以下の流体の影響を考慮するための応力モデル及びスカラー流束モデル（上式\(M_I, M_{II}, M_V\)）は、[2018R2]以降のバージョンで考慮可能です。また、熱化学的反応を考慮していないため、平均圧力上昇に起因する項（\(M_{III}\)）や化学反応に起因する熱発生率（\(M_{IV}, M_{VI}\)）は必要ありません。
SGS応力モデル [2018R2以降]： \begin{equation} \tau_{ij} = -2\nu_T\tilde{S}_{ij} = -2\nu_T\left(\frac{\partial\tilde{u}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\tilde{u}_j}{\partial x_i}\right). \end{equation}
渦粘性モデル [2018R2以降]： \begin{equation} \nu_T=\left(C_S\Delta\right)^2\left|\tilde{S}\right|=\left(C_S\Delta\right)^2\sqrt{2\tilde{S}_{ij}\tilde{S}_{ij}}. \end{equation}
物理量\(\Omega\)のSGSスカラー流束モデル [2018R2以降]： \begin{equation} \phi_i^\Omega = -\frac{\nu_T}{Sc_T}\frac{\partial \tilde{\Omega}}{\partial x_i}. \end{equation}
モデル中に現れる定数の一般的な値 [2018R2以降]： \begin{equation} C_S = 0.17, Sc_T = 0.7. \end{equation}
数値計算手法
通常のWindows上PCで動作するための計算資源の制約及び境界条件適用の容易さから、移流項は1次精度風上、その他の項は2次精度中心差分を用いて等間隔格子上で離散化、時間積分は陽的オイラー法を用いて上記の基礎方程式を数値的に解いています。
全ての熱輸送係数・物性値は、入力パラメータとしてユーザーで指定でき、これらを定数として取り扱っています。
境界条件手法
計算領域中の物理境界条件（流入境界や壁境界）などは、(a) 格子点に基づく手法と、(b) 埋込境界手法から選択することができます。Flowsquare+では、特に指定しない場合は、(b) 埋込境界手法が適用されます。
(a) 格子点に基づく手法
本手法では、物理境界を各格子点上でのみ指定します。例えば、壁境界は、速度0（すべり無し）、圧力勾配0（非粘性仮定）という条件が適用されています。Flowsquare+ではすべり有条件の壁境界を用いることもできますが、これらも同様に格子点上でのみ定義されています。したがって、一見、有限の曲率を有する壁境界でも、数値上は、格子点上でのみ壁境界が適用されるため、格子点に沿わない形状の壁面は、無視されます（つまりガタガタした階段状の壁が数値的には指定されている）。
(b) 埋込境界手法
埋込境界では、格子点に沿わない形状の物理境界の影響も考慮して、非流体領域の各格子点上の各物理量を決定します。したがって、有限の曲率を有する壁面の影響も空間解像度の範囲内で正しく考慮されます。[2019R1以降]