以下の情報は、Flowsquare+の最新バージョンにおける情報です。式中の変数名の多くは、ユーザー指定パラメータ名と同様です。

シミュレーションおいて解く必要のある場は、以下の密度場、速度場、温度場、流体中の物質の質量分率、圧力場です。ただし、cmode=0の流体解析モードの場合は、質量保存の式及び運動量保存の式のみ利用し、気体の状態方程式は必要ありません(従って、水などの液体の流れ場も考慮可能)。流体中の物質の質量分率に関する方程式は、いずれのcmodeでも考慮可能です。 \begin{equation} \rho(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: u_i(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: T(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: Y(\mathbf{x},t)\:\:,\:\:\:\: p(\mathbf{x},t). \end{equation}

これらの基礎方程式として、質量保存方程式: \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \bar{\rho} \tilde{u_i} \right), \end{equation}

運動量の輸送方程式: \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i} \tilde{u_j}}{\partial x_j} = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \mu \left( \frac{\partial \tilde{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \tilde{u_j}}{\partial x_i} \right) \right] - \underbrace{ \frac{\partial \bar{\rho} \tau_{ij}}{\partial x_j} }_{M_{I}} + \Delta \bar{\rho} g_{f, x_i}, \end{equation}

エネルギーの輸送方程式(温度の輸送方程式): \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{T}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i} \tilde{T}}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \bar{\rho} \alpha \frac{\partial \tilde{T}}{\partial x_i} \right) - \underbrace{ \frac{\partial \bar{\rho} \phi_i^T}{\partial x_i} }_{M_{II}} + \underbrace{ \frac{1}{c_p}\frac{\partial p_0}{\partial t} }_{M_{III}} + \underbrace{ \frac{\bar{Q}}{c_p} }_{M_{IV}}, \end{equation}

流体中の物質濃度の輸送方程式 [2018R2以降]: \begin{equation} \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{Y}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{\rho} \tilde{u_i} \tilde{Y}}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \bar{\rho} D \frac{\partial \tilde{Y}}{\partial x_i} \right) - \underbrace{ \frac{\partial \bar{\rho} \phi_i^Y}{\partial x_i} }_{M_{V}} + \underbrace{ \bar{\omega}_Y}_{M_{VI}}, \end{equation}

理想気体の状態方程式: \begin{equation} p_0 = \rho R_u/W_{air} T, \end{equation}

を数値的に解くことでシミュレーションを実現しています。ここで、\(R_u\)は、気体定数、\(W_{air}\)は、空気の平均分子量で、\(R_u=8.31\) (J/K/mol)、\(W_{air}=28.97\times10^{-3}\) (kg/mol)です。また、上式中の一部の項や演算は以下の通りです。

SGS応力項: \begin{equation} \tau_{ij} = \widetilde{u_i u_j} - \tilde{u}_i \tilde{u}_j. \end{equation}

物理量\(\Omega\)のSGSスカラー流束項: \begin{equation} \phi_i^\Omega = \widetilde{u_i \Omega} - \tilde{u}_i \tilde{\Omega}. \end{equation}

空間フィルター: \begin{equation} \overline{q(\mathbf{x},t)} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} q(\mathbf{r},t')G(\mathbf{x-r},t-t')dt'd\mathbf{r}. \end{equation}

ファーブル空間フィルター: \begin{equation} \tilde{q} = \frac{\overline{\rho q}}{\bar{\rho}}. \end{equation}

その他の補助式 \begin{equation} p = p_0 + p' = {\rm presW} + p'. \end{equation} \begin{equation} \Delta \rho = \rho - \rho_0 = \rho - {\rm rhoW}. \end{equation} \begin{equation} \rho \alpha = \mu / Pr. \end{equation} \begin{equation} Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu/\rho}{\lambda/c_p/\rho} = \frac{c_p\mu}{\lambda}. \end{equation} \begin{equation} Sc = \frac{\nu}{D} = \frac{\mu/\rho}{D}. \end{equation}

SGS応力モデル [2018R2以降]: \begin{equation} \tau_{ij} = -2\nu_T\tilde{S}_{ij} = -2\nu_T\left(\frac{\partial\tilde{u}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\tilde{u}_j}{\partial x_i}\right). \end{equation}

渦粘性モデル [2018R2以降]: \begin{equation} \nu_T=\left(C_S\Delta\right)^2\left|\tilde{S}\right|=\left(C_S\Delta\right)^2\sqrt{2\tilde{S}_{ij}\tilde{S}_{ij}}. \end{equation}

物理量\(\Omega\)のSGSスカラー流束モデル [2018R2以降]: \begin{equation} \phi_i^\Omega = -\frac{\nu_T}{Sc_T}\frac{\partial \tilde{\Omega}}{\partial x_i}. \end{equation}

モデル中に現れる定数の一般的な値 [2018R2以降]: \begin{equation} C_S = 0.17, Sc_T = 0.7. \end{equation}

通常のWindows上PCで動作するための計算資源の制約及び境界条件適用の容易さから、移流項は1次精度風上、その他の項は2次精度中心差分を用いて等間隔格子上で離散化、時間積分は陽的オイラー法を用いて上記の基礎方程式を数値的に解いています。

格子解像度以下の流体の影響を考慮するための応力モデル及びスカラー流束モデル(上式\(M_I, M_{II}, M_V\))は、[2018R2]以降のバージョンで考慮可能です。また、熱化学的反応を考慮していないため、平均圧力上昇に起因する項(\(M_{III}\))や化学反応に起因する熱発生率(\(M_{IV}, M_{VI}\))は必要ありません。

全ての熱輸送係数・物性値は、入力パラメータとしてユーザーで指定でき、これらを定数として取り扱っています。